domingo, 17 de abril de 2011

Medida e incerteza

Las incertezas o errores experimentales
Toda medición lleva el propósito de encontrar el valor verdadero de una cantidad de cualquiera de las diferentes magnitudes (tiempo, longi­tud, volumen, superficie, temperatura, masa, etc.); sin embargo, resulta imposible hallar dicho valor, pues siempre existe una cierta incerteza.
Los valores obtenidos en cualquiera de las mediciones realizadas dependen de la precisión del instrumento utilizado, la habilidad del observador, la cantidad que se mide y las condiciones que presenta el medio ambiente.
Cada instrumento de medición tiene una escala en la cual el valor de la división menor se denomina apreciación del instrumento. Por ejem­plo: una regla graduada en centímetros tiene una apreciación de 1 cm; un reloj cuya escala llega a los segundos, tiene una apreciación de 1 s ; un termómetro graduado en décimas de grado tiene una apreciación de 0,1 °C; un cronómetro cuya menor división es 1/10 de segundo, su aprecia­ción es de 0,1 s.

El observador con la ayuda de la escala del instrumento empleado puede estimar valores intermedios. Así, por ejemplo, si se mide con una regla centimetrada y ninguna de las divisiones de dicha regla coincide con el extremo de la longitud que se mide, puede estimar "a ojo" media división o 1/4, o 1/5 o hasta 1/10, es decir que se imagina las divisiones intermedias. Esto se denomina estimación de una lectura.
Tanto la apreciación del instrumento como la estimación del obser­vador originan una incerteza que constituirán el error experimental.
Por otra parte, el instrumental utilizado puede presentar diferentes fallas, tales como: una graduación equivocada o poco precisa, defectos de construcción, etcétera.
Por su parte, el observador puede cometer diversos errores, como por ejemplo: no hacer correctamente la lectura, no ubicar bien el instrumen­to, cometer errores de paralaje o de cero, confundir el valor de cada di­visión de la escala, etcétera.
Además, conviene tener en cuenta la cantidad a medir; pues debe ser adecuada al instrumento de que se dispone. Por ejemplo: para medir 10 mi se comete mucho menos error con una probeta de 10 mi que con otra de 500 mi. Asimismo, debe usarse la mayor cantidad posible de sustan­cia para reducir el error. Por ej.: un error de 1 g al pesar 200 g represen­ta un 0,5%, mientras que el mismo error en 10 g significa un 10 %.
También es necesario cuidar las condiciones ambientales dado que pueden influir en los resultados; así, por ejemplo, la falta de iluminación dificulta la lectura de la escala; la falta de tranquilidad o un lugar ruido­so o la urgencia por dar un resultado, inciden en el ánimo del observador que puede cometer errores imprevistos.
En suma, a pesar de todos los cuidados y precauciones que se tomen, resulta imposible lograr una medición absolutamente exacta y sólo se puede hablar de haber obtenido el valor más probable, denominado va­lor representativo. Éste, invariablemente, está afectado por una incer­teza o error experimental.

Clasificación de los errores
Los errores se clasifican en dos grupos, a saber:
-  Errores sistemáticos
-  Errores accidentales.
Los errores sistemáticos se deben a imperfecciones del instrumente de medición, a fallas del observador, al método de medición y/o a las con­diciones ambientales. Por ejemplo: escala equivocada del instrumental.
Estos errores pueden y deben ser eliminados.

Los errores accidentales son aquellos que siempre se cometen en una medición y no pueden ser eliminados. Por ejemplo: pequeñas osci­laciones del terreno, cambios de temperatura imperceptibles, etcétera.
¿Cómo disminuir las incertezas?

En los casos en que se repite varias veces la medición de una misma cantidad por el mismo observador, con el mismo instrumento, y con igual método, es decir, en las mismas condiciones, pueden ocurrir dos cosas:
-  que todas las lecturas sean iguales, o
-  que se presenten lecturas distintas.
Naturalmente pensamos que ocurre lo primero porque estamos mi­diendo la misma cantidad; sin embargo, generalmente sucede lo segun­do, o sea, que se obtienen valores diferentes.
Por supuesto, todos ellos difieren en pequeñas cantidades, pero no son iguales y ello sucede por los distintos factores que influyen en una me­dición, según se expuso antes.


Veamos un ejemplo aclaratorio:
- Un alumno efectuó 10 mediciones de la longitud del pizarrón del aula obteniendo las siguientes lecturas;

Lectura N°
Longitud (m)
1
1,83
2
1,84
3
1,84
4
1,83
5
1,84
6
1,82
7
1,83
8
1,82
9
1,83
10
1,82


Como vemos, todas las lecturas son semejantes, pero no hay coinci­dencia total. Pero, entonces: ¿cuál es el valor más probable de la longi­tud del pizarrón?
Para responder a esta pregunta tendremos en cuenta uno de los pos­tulados fundamentales enunciados por el físico y matemático alemán, Karl F. Gauss (1777-1855), que establece: "El promedio aritmético de una serie de mediciones, todas realizadas en las mismas condiciones, es el valor más probable, es decir, el valor más cercano al valor verdadero de la magnitud medida".
Luego, calculamos el promedio aritmético:
  X =  1,83+1,84+1,84+1,83+1,84+1,82+1,83+1,82+1,83+1,82 m
                                                          10


           X = 1,83 m

Por lo tanto, el valor más probable de la longitud del pizarrón es de 1,83 m. Este valor se denomina valor representativo (X).
Este criterio se considera acertado, pues no consiste en elegir una lec­tura, sino que al promediar todas ellas se consigue que cada una aporte su información y quede reflejada en el valor representativo.
Por otra parte, cuanto mayor sea el número de lecturas efectuadas, menor será la incerteza o error cometido en la medicióa
Errores aparentes, relativos y porcentuales
El error aparente (Ea) es la diferencia entre la lectura correspondien­te a una de las mediciones y el valor representativo. Por ejemplo, en nues­tro caso, si tomamos la segunda lectura, el error aparente es:
                                                  E2 = 1,84 m — 1,83 m = + 0,01 m
mientras que si consideramos la sexta, tendremos:
                                                    E6= 1,82 m — 1,83 m = — 0,01 m
En consecuencia el error aparente puede tener valores positivos o ne­gativos, según que se cometan errores en la lectura por exceso o por de­fecto, respectivamente.
Generalizando:                                         Ea = x X

El error relativo Er es el cociente entre el error aparente y el valor representativo.
Siguiendo con nuestro ejemplo del pizarrón, para la segunda lectura, resulta:

Er =  0,01 m                  Er = +0,005  
        1,83 m

Esto nos indica que el error cometido es del orden de 5 unidades por cada 1000.
Supongamos que al medir el ancho de una silla se comete el mismo error aparente, es decir + 0,01 m y que el valor representativo es 0,36 m, luego el error relativo será:

Er = 0,01 m                Er = + 0,028
  0,36 m

En este caso el error que se comete es 28 unidades por cada 1 000.
Por lo tanto, resulta evidente que el error cometido en la medición de la silla es mucho mayor que el del pizarrón.
Como apreciamos, el cálculo del error relativo permite establecer la precisión de las mediciones. Cuanto menor es el error relativo mayor es la precisión de la medición.
Generalizando:                                   Er = Ea
                                                         X
El error porcentual (E%) es el producto del error relativo por cien.
                                                             E%  = Er. 100

En nuestro ejemplo:
E %=0,0055.100=0,55 %; es decir que por cada cien metros el error es de 0,55 metros. Entonces el error porcentual nos informa del error co­metido por cada 100 unidades.
¿Cómo se expresan los resultados?
Al presentar el resultado de una medición es importante indicar el va­lor obtenido (x) junto con la incerteza (A x) con que se ha medido.
Veamos un caso:
Un alumno mide el ancho del aula con una regla centimetrada y ob­tiene un valor de 583 cm. Como la apreciación del instrumento es de 1 cm y el alumno es capaz de estimar medio centímetro (0,5 m) la incer­teza (A x) de su medición es de 0,5 cm. Luego debe expresar su resulta­do así:
583 cm ± 0,5 cm o también:
5,83 m ± 0,005 m
Por el contrario, si utiliza una regla milimetrada y obtiene un valor de 583,2 cm, teniendo en cuenta que la apreciación del instrumento es de 1 mm y que no estima valores intermedios, la incerteza es de 0,1 cm y el resultado debe expresarse así:
583,2 cm ± 0,1 cm o bien
5,832 m ± 0,001 m
En general, si designamos al valor obtenido con "x" y a la incerteza con "A x'\ el resultado es: x ± A x , leyéndose "equis más o menos del­ta equis". (A = letra griega delta mayúscula).
También debemos aclarar que la incerteza no es una equivocación, si­no un error, propio de la medición, que puede ser disminuido utilizando un instrumento más preciso y/o con un observador bien adiestrado, pe­ro nunca eliminado.
Por otra parte, cuando se efectúan mediciones es frecuente encontrar­se con resultados con un elevado número de cifras decimales. En estos  casos se procede a redondear el resultado, pues de lo contrario se tra­baja con cifras que carecen de significado.
Para suprimir cifras a un número se deben seguir determinadas reglas:
1)  Si la primera cifra eliminada es superior a 5, se agrega una unidad   a la anterior.
Ej.: 3,297 se redondea así: 3,30
2) Si la primera cifra eliminada es inferior a 5, la última cifra conser­vada no se modifica.

Ej.: 3,293 se redondea así: 3,29
3) Si la cifra que se quiere suprimir es 5 y la anterior es par, ésta no sufre cambios.
Ej.: 3,285 se redondea así: 3,28
4) Si la cifra que se quiere suprimir es 5 y la anterior es impar, a és­ta se le agrega una unidad.
Ej.: 3,295 se redondea así: 3,30